Idee 11.                                                    


Om een voorwerp te teekenen is 't niet voldoende den omtrek, de kleur en de schaduw van dat voorwerp te kennen, men moet dat alles kunnen weergeven.

Om 'n gedachte uittedrukken, moet die geworden zyn tot beeld, dat is: tot denkbeeld. *) Zoo'n beeld moet men leeren tekenen.

*) Denkbeeld is 'n lief woord, en een der velen waaruit de schoonheid onzer taal blykt. Het grieks-latyns-franse idee is er arm by, omdat daarin 't begrip: denken niet vertegenwoordigd wordt. 't Is jammer dat zoo vaak de betekenis van 'n woord verstompt door dagelyksch gebruik. De wysgeerige behandeling eener taal als de onze, leidt dikwyls tot verrassende opmerkingen. Juist daarom vind ik het zoo betreurenswaardig dat men taalstudie heeft omgeknoeid tot letterziftery. (1870)
 


De term "denkbeeld" is inderdaad - zie de Noot - een fraai Nederlands woord, al zijn lang niet alle ideeŽn denkbeelden, omdat - zoals Descartes en Leibniz al opmerkten - niemand in staat is zich adekwaat een duizend-hoek voor te stellen.

Het is echter ook waar dat zeer veel onzin en onwaarheid geaccepteerd wordt door toehoorders omdat deze toehoorders nalaten te proberen zich een adekwate voorstelling, een bruikbaar denkbeeld, te vormen van het beweerde. Het hier gestelde kan - ten naaste bij - anders geformuleerd worden als:

Een gedachte kan niet veel beter zijn dan z'n uitdrukking.



Noot:
Denkbeeld is 'n lief woord, en een der velen waaruit de schoonheid onzer taal blykt.
 

Juist, en niet alleen vanwege "denk" maar ook vanwege "beeld":

Denken is gewoonlijk het trachten te vatten van wat is of zou kunnen zijn, in beelden of andere gelijkenissen ontleend aan iets anders dat is of zou kunnen zijn.

En wanneer woorden "gedacht" worden zonder denkbeelden is er sprake van frases, van klanken zonder werkelijk doordachte of doorvoelde inhoud, hoe wŠŠr het gedachte ook is:

Zonder een mentale vertaalslag van frase naar denkbeeld wordt er niet gedacht maar na-gebazeld.

Hier is overigens een wat algemenere noot, voor doordenkers:

Aangezien we 't over ideeŽn en denkbeelden hebben, lezer, zal ik proberen u een denkbeeld te geven van wat een idee is.

Neem twee of drie spiegels, plaats ze tegenover elkaar, en beschouw wat er te zien is: Schijnbaar oneindige weerkaatsing, verdubbeling, replicatie, kopiŽring en complicatie van een en hetzelfde, dat u bovendien op allerlei manieren kunt wijzigen en bewegen, eenvoudig door een spiegel wat te draaien, bewegen, of er nog wat voor te houden.

Haal u vervolgens voor de geest wat een zelfstandig naamwoord is. Dat is grammatikaal niet moeilijk, want ieder woord waar "de", "het" of "een" voor mag staan is een zelfstandig naamwoord.

Nu, zelfstandige naamwoorden zijn namen voor evenzovele abstracte dingen die verzamelingen heten, en een willekeurig ding is een lid van een verzameling in precies alle gevallen dat het ding terecht het zelfstandig naamwoord toegekend kan worden dat ook de naam van de verzameling is van precies alle dingen die de eigenschap hebben terecht met dat zelfstandig naamwoord benoemd te worden.

Keer nu weer terug naar uw spiegels, en neem aan dat een van die spiegels de eigenschap zou krijgen z'n eigen spiegelingen te kunnen selecteren en in zichzelf te spiegelen. Dan benaderen we iets van de minimale structuur van enig bewustzijn, enig bewust zijn.

In meer algemene termen:

Neem een wereld aan. Noem 'm W. 't Zal een verzameling zijn, want "wereld" is een zelfstandig naamwoord. Beschouw de verzameling van alle verzamelingen die gevormd kan worden uit de leden van die verzameling. Noem deze W*. Dit is in ieder geval de naam van een verzameling, en in 't geval van hele kleine verzamelingen makkelijk voorstelbaar. En de verzameling van alle verzamelingen die gevormd kunnen worden uit W is in zekere zin 't rijk der mogelijkheden van W.

Een afbeelding van de ene verzameling A in een andere verzameling B is een regel met een eigennaam die aan ieder lid van A precies een lid van B toekent. Een reden waarom dit een afbeelding heet van A in B is dat wanneer u uw vingers voor een naar de muur gerichte lamp houdt u een afbeelding te zien krijgt van uw vingers op de muur, met precies een schaduw-vinger per vinger etc.

In de verzamelingen-leer worden afbeeldingen gewoonlijk met een kleine letter, en verzamelingen met hoofdletters geschreven, en heet de verzameling die afgebeeld wordt het domein en de verzameling waarin afgebeeld wordt het bereik van de afbeelding. Bovendien wordt de waarde die een afbeelding f van een verzameling A in een verzameling B toekent aan een willekeurig lid van A gewoonlijk met f(a) aangegeven.

Hier is een eenvoudig voorbeeld uit de wiskunde: "kwadraat" is een afbeelding van getallen naar getallen, waarvoor geldt dat het kwadraat van een getal gelijk is aan het produkt van dat getal met zichzelf.

Merk op dat we tot nu toe weinig of niets anders hebben gedaan dan een heldere terminologie verbinden voor gebruikelijke woorden gebaseerd op grammatikale kenmerken.

Overweeg nu de volgende aannames:

Nederlands

Wiskundige Verzamelingen-leer

Laat X een deelverzameling van de wereld W zijn.

X inc W

Laat x een element van X zijn. x є X

Laat W* de verzameling van alle verzamelingen uit W zijn.

W inc W* met W*={X:X inc W}

Laat i een afbeelding van X* in W* zijn.

i : X* |-> W*

i representeert X in W* precies als voor ieder element geldt dat x element van X is precies als i(x) element van i(X) is.

repr(i,X,W) iff (x)(xєX iff i(x)єi(X))

De lezer zal inzien dat waar en wanneer en waarover deze aannames ook waar zijn het daarmee waar is  - niet noodzakelijk: daardoor -  dat men met i een manier heeft om precies alle dingen die X zijn in W te vinden. (En "niet noodzakelijk: daardoor", lezer, omdat de redenen waarom aannames waar kunnen zijn geheel los kunnen staan van de redenen om ze aan te nemen, waar te achten etc.)

En vervolgens zal de lezer inzien dat indien men voor een gegeven W een afbeelding i zou hebben die in bovenstaande zin voor alle leden van W geldt, dat men daarmee een manier zou hebben om voor iedere combinatie die gevormd kan worden uit leden van W te weten of deze bestaat of niet.

Aldus heeft de lezer enige indruk gekregen hoe men de ideeŽn van het hebben van een idee, een denkbeeld, waarheid, verzameling en afbeelding kan verhelderen, en daarmee en daardoor ook een helder idee van 't begrip waarheid krijgen.

Voor wie 't nog niet geheel ziet is hier als afsluiting een beeld daarvoor:

Een denkbeeld is waar precies als 't zich verhoudt tot een werkelijkheid waarin 't waar zou zijn zoals een korrekte landkaart die werkelijkheid beschrijft.

Andersom gesteld: Iedere landkaart geeft een pretens waarachtige theorie van 't land dat die kaart representeert - gewoonlijk bovendien in welbepaalde en niet in andere aspecten:

Er zijn welbepaalde verhoudingen en relaties in werkelijkheid die korresponderen met welbepaalde verhoudingen en relaties zichtbaar op de kaart - precies dan als de kaart ook waarachtig is.

En ideeŽn zijn als landkaarten - of preciezer en juister: Landkaarten zijn een soort op papier uitgedrukte ideeŽn - waarbij de lezer moet meewegen dat er zeer veel soorten kaarten zijn, die allen legenda, conventies, vormen van projectie etc. hebben die tot de kaart en de juiste interpretatie ervan behoren.
 

Idee 11.